Vamos a ver enseguida algunas
propiedades fundamentales de los logaritmos, las cuales nos serán de
mucha utilidad en la resolución de ecuaciones logarítmicas y
exponenciales.
La primera de estas propiedades es
la del logaritmo de un
producto.
Esta se expresa como sigue:
loga
(u·v)
= loga
u + loga
v
Para
demostrar esta propiedad bastará con aplicar la ley de los
exponentes del producto de potencias con la misma base y la
definición de logaritmo. Pero antes, representemos a u
y a v
como potencias de la base a
empleando la definición de logaritmo:
u = aloga u y v = aloga v
Ahora,
multiplicando u
por v
y aplicando leyes de exponentes:
u·v
= aloga
u·aloga
v
= a(loga u+loga
v
)
Entonces,
si aplicamos la definición de logaritmo, el logaritmo de un producto
de números u·v
será:
Un
procedimiento similar es el que se aplica en las dos propiedades
siguientes. Una
de estas es
el logaritmo de un
cociente,
que se escribe así:
Al
convertir u
y v
a una potencia con base a
obtendríamos
lo mismo que en el caso anterior, sólo que ahora no se
multiplicarán, sino que se dividirán.
u/v = aloga u/aloga v
=aloga u - loga v
Se
aplicó la ley de los exponentes para el caso de la división
de potencias con la misma base.
Si
se calcula ahora el logaritmo a la última expresión nos queda:
loga aloga u - loga v
=
loga
u – loga
v
Y
otra propiedad importante es la del logaritmo de una potencia:
Nuevamente,
para demostrar esta propiedad convertimos u
en una potencia de base a
y lo elevamos al exponente n:
(aloga
u)n
=
an·loga
u
Aquí
se aplicó la ley de exponentes de potencia
de una potencia,
la cual dice que se deben multiplicar los exponentes, obteniéndose
n·loga
u.
La propiedad queda demostrada si calculamos el logaritmo de la última
expresión obtenida.
loga
(an·loga
u)
= n·loga
u
Por
último, demostraremos una propiedad de logaritmos que nos resulta
muy útil cuando necesitamos cambiar de base en el logaritmo. Dicha
propiedad es:
logb
u = loga
u
/ loga
b
Para
demostrar esta propiedad partiremos de la siguiente identidad:
blogb
u
= u
Ahora,
apliquemos a ambos miembros de la igualdad el logaritmo en base a:
loga
blogb
u =
loga
u
Por
la ley del logaritmo de una potencia:
logb
u · loga
b
=
loga
u
Por
último, se despeja logb
u y nos queda la expresión que queríamos demostrar:
logb
u = loga
u
/ loga
b
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