Las
funciones algebraicas suelen estar compuestas por términos como xn,
en donde x se llama base y n
es el exponente. Si
ahora invertimos la posición de estos elementos tendremos: nx.
A las funciones que poseen términos como este último, donde la
variable x es un exponente, se les denomina funciones
exponenciales. A continuación
veremos algunos ejemplos de este tipo de funciones y sus
correspondientes gráficas.
En
una función exponencial que tenga la forma y=nx,
si n es positivo y mayor que 1, tendremos una gráfica que al
aumentar x aumenta y (tendiendo al infinito), pero al disminuir x y
tomar valores negativos de magnitud cada vez mayor, el valor de y
disminuye teniendo como límite 0. Esto último significa que al
extenderse la gráfica hacia la izquierda se acercará más y más al
eje de coordenadas x, sin tocarlo. Por esta razón se dice que el eje
x es una asíntota de
la gráfica de y=nx.
Ejemplo
1.
Para mostrar lo dicho anteriormente, grafiquemos la funcion
exponencial y=2x.
En una tabla vamos a registrar los valores correspondientes de x y de
y:
-
xy=2xPuntos222=4(2, 4)121=2(1, 2)020=1(0, 1)-22-2=(1/2)2=1/4=0.25(-2, 0.25)
Y
su gráfica sería la siguiente:
Para
los valores de -4, -6, -20, etc., el valor de y se acercará cada vez
más a cero, pero sin llegar. Por ejemplo, si x=-20, y=0.000000954.
Pero, el comportamiento de la gráfica de una función exponencial
y=-nx
es diferente si la base n es menor que -1. Como es de esperarse, el
signo que se ha agregado como un factor -1 convierte todos los
resultados de la potencia nx
(que es positiva, ya que suponemos que n es positivo también) en
negativos, por lo que los valores de y estarán todos por debajo del
eje x.
Ejemplo
2. Verifiquemos
estos cambios en la gráfica con la función y=-3x.
La tabla con el cálculo de algunos puntos sería la
siguiente:
x
|
y=-3x
|
Puntos
|
-1
|
-3-1=-(1/3)=-0.33
|
(-1, -0.33)
|
0
|
-30=-1
|
(0, -1)
|
1
|
-31=-3
|
(1, -3)
|
2
|
-32=-9
|
(2, -9)
|
Y
su gráfica:
Como
puede verse, esta función sigue teniendo como asíntota al eje x,
sólo que la gráfica está por debajo de dicho eje. Igual que en la
función del ejemplo anterior y
aumenta al aumentar x.
Hay, por último, un caso en que al aumentar x
la variable y
disminuye.
Esto ocurre cuando el valor de n se encuentra entre -1 y 1
(-1 < n < 1), esto es, cuando toma valores fraccionarios. Sin embargo, sería equivalente a cambiar el signo en el exponente x. Sin
embargo, sería equivalente a cambiar el signo en el exponente x.
Así, y=(1/2)x
equivaldría a y=2-x.
Esto, porque sabemos que 1/2=2-1.
El
cambio de signo en el exponente x
tiene como efecto en la gráfica que se formará un reflejo simétrico
de la gráfica original con respecto al eje y,
como veremos a continuación.
Ejemplo 3. Graficamos la función y=(1/2)x.
- xy=(1/2)xPuntos-2(1/2)-2=(2)2=4(-2, 4)-1(1/2)-1=(2)1=2(-1, 2)0(1/2)0=1(0, 1)1(1/2)1=1/2=0.5(1, 0.5)
Efectivamente, esta gráfica nos resulta simétrica respecto al eje
y al compararla con la del ejemplo 1, cuya función era y=2x.
De la misma forma, si graficaramos y=(-1/3)x, obtendríamos
una gráfica simétrica en y con la del ejemplo 2, en donde
teníamos la función y=-3x.
Como complemento a este artículo te recomiendo que mires este video sobre cómo Graficar una función exponencial.
Como complemento a este artículo te recomiendo que mires este video sobre cómo Graficar una función exponencial.
No hay comentarios:
Publicar un comentario