Ecuaciones exponenciales

A diferencia de las funciones, que pueden tomar conjuntos de valores en sus variables independiente x (dominio) y dependiente y (contradominio), las ecuaciones son igualdades en donde el conjunto de valores de la variable se limita a uno o varios números reales. A este conjunto se le llama solución y a la variable incógnita. Determinar el valor de la incógnita significa resolver la ecuación.

Cuando la incógnita de una ecuación aparece como exponente o como parte de un exponente, la ecuación es una ecuación exponencial. Veamos con dos ejemplos un procedimiento a seguir para resolver ecuaciones exponenciales.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación 3^x = 21.

Una de las claves para resolver este tipo de ecuaciones está en hacer que la variable x, presente en un exponente, salga de allí a multiplicarse, sumarse, restarse o dividirse con otros términos, como en cualquier ecuación algebraica. Es decir, hay que convertir la ecuación exponencial en algebraica. 

En este caso, podemos hacerlo aplicando primero logaritmo común a ambos lados de la igualdad y luego la propiedad de el logaritmo de una potencia. Estos serían los cambios que sucederían:

  log 3^x = log 21

x·log 3 = log 21

Ahora tenemos una ecuación algebraica de una incógnita, la cual resolvemos despejando x. log 3 y log 21 son números que calcularemos posteriormente, después de despejar la incógnita. Esto último queda de la siguiente manera:

x = log 21/log 3

x =  1.3222/0.4771

x = 2.771

Se despejó x quitándole el log 3 que lo multiplicaba (se pasó dividiendo a log 21). Luego se calcularon los log 21=1.3222 y log 3=0.4771, para realizar por último la división de ellos. Entonces x=2.771. Podemos verificar que el resultado es correcto sustituyendo 2.771 en la ecuación exponencial original:

3^2.771 = 21

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 5^2x+1 = 6^x-2.

Seguiremos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior. Calculamos logaritmos comunes a  ambos miembros de la igualdad, lo que resultaría en lo siguiente:

log 5^2x+1 = log 6^x-2

 Ahora, aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia en ambos logaritmos nos queda así:

(2x+1)log 5 = (x-2)log 6

Efectuamos las multiplicaciones para eliminar los paréntesis y poder agrupar después terminos semejantes (números con números y x con x).

(2log 5)x + log 5 = (log 6)x - 2log 6

(2log 5)x - (log 6)x   =  - 2log 6 - log 5

(2log 5 - log 6)x = - 2log 6 - log 5

 Por último, despejamos x:

x = (- 2log 6 - log 5) / (2log 5 - log 6)

Y calculamos los logaritmos para determinar x:

x = -2.2552 / 0.6198

x = -3.638

Si reemplazamos este valor de x en la ecuación original, veremos que hace que se cumpla la igualdad, al resultar 0.000041 en ambos lados de la igualdad.